最近，被稱為千禧年七大難題之一的黎曼猜想迎來了新突破。

黎曼猜想是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的未解決問題，與素?cái)?shù)分佈的精確性質(zhì)有關(guān)（素?cái)?shù)是那些只能被1 和自身整除的數(shù)字，它們在數(shù)論中扮演基礎(chǔ)性的角色）。

在當(dāng)今的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，已有超過一千條數(shù)學(xué)命題以黎曼猜想（或其推廣形式）的成立為前提。也就是說，黎曼猜想及其推廣形式一旦被證明，這一千多個(gè)命題將被確立為定理，對數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響；而如果黎曼猜想被證明是錯誤的，那麼這些命題中的一部分也將隨之失去其有效性。

新的突破來自 MIT 數(shù)學(xué)教授 Larry Guth 和牛津大學(xué)數(shù)學(xué)研究所教授、菲爾茲獎得主 James Maynard 的一篇論文。推薦該論文的數(shù)學(xué)家陶哲軒表示，他們對黎曼 zeta 函數(shù)零點(diǎn)的經(jīng)典 1940 年 Ingham 界限進(jìn)行了首次實(shí)質(zhì)性改進(jìn)（更廣泛地說，是控制各種狄利克雷級數(shù)的大值）。此前，誕生已超過 80 年的 Ingham 界限由於缺乏改進(jìn)，限制了數(shù)學(xué)家在解析數(shù)論中做很多事情。

不過，陶哲軒也表示，儘管這是一個(gè)顯著突破，但距離完全解決黎曼猜想還有很大距離，因此應(yīng)理性看待。

黎曼猜想是什麼？

黎曼猜想或黎曼假設(shè)（Riemann Hypothesis）由德國數(shù)學(xué)家 Bernhard Riemann 於 1859 年提出。這個(gè)猜想與素?cái)?shù)的分佈密切相關(guān)，其核心內(nèi)容涉及黎曼 ζ 函數(shù)（Riemann Zeta Function）的非平凡零點(diǎn)。

^{? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??中讓來描述。粗略地說， 它是針對一個(gè)被稱為黎曼 ζ 函數(shù)的複變數(shù)函數(shù) (即變數(shù)與函數(shù)值都可以在複數(shù)域中取值的函數(shù)) 的猜想。黎曼 ζ 函數(shù)跟許多其它函數(shù)一樣， 在某些點(diǎn)上的取值為零， 那些點(diǎn)被稱為黎曼 ζ 函數(shù)的零點(diǎn)。在那些零點(diǎn)中， 有一部分特別重要的被稱為黎曼 ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)。黎曼猜想所猜測的是那些非平凡零點(diǎn)全都分佈在一條被稱為 「臨界線」的特殊直線上（引自科普作家盧昌海博客）。}

黎曼 ζ 函數(shù)定義為： ?

黎曼猜想認(rèn)為，所有 ζ 函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都為 1/2。這意味著，如果 ζ(s)=0 且 s 是非平凡零點(diǎn)（即 s 不是負(fù)偶數(shù)），那麼 s 的實(shí)部應(yīng)為 1/2。

黎曼猜想是當(dāng)今世界上最重要、最期待解決的數(shù)學(xué)難題。若猜想成立，則可以精確描述素?cái)?shù)在自然數(shù)中的分佈情況，並在解決數(shù)論、複分析和其他數(shù)學(xué)分支中具有廣泛的應(yīng)用和影響。

迄今為止，距離黎曼猜想提出已經(jīng)過去了 165 年。關(guān)於嘗試證明黎曼猜想的研究出現(xiàn)了很多，但都無疾而終。

解決黎曼猜想的嘗試

自黎曼猜想提出以來，許多數(shù)學(xué)家便開始了探索證明之旅。

1896 年，法國數(shù)學(xué)家雅克?阿達(dá)馬和 Charles Jean de la Vallée-Poussin 分別獨(dú)立地證明了在直線上沒有零點(diǎn)。連同了黎曼對於不非凡零點(diǎn)已經(jīng)證明了的其他特性，這顯示了所有不平凡零點(diǎn)一定處於區(qū)域上。這是質(zhì)數(shù)定理第一個(gè)完整證明中很關(guān)鍵的一步。

1900 年，德國數(shù)學(xué)家、現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父之一大衛(wèi)?希爾伯特將黎曼猜想包括在他著名的23 條問題中，與哥德巴赫猜想一起組成了希爾伯特名單上的第8 號問題。同時(shí)黎曼猜想也是希爾伯特問題中唯一一個(gè)被收入克雷數(shù)學(xué)研究所的千禧年大獎難題。

1914 年，英國數(shù)學(xué)家高德菲?哈羅德?哈代證明了有無限個(gè)零點(diǎn)在直線 上。後來哈代與英國數(shù)學(xué)家約翰?恩瑟?李特爾伍德在 1921 年及塞爾伯格在 1942 年的工作（臨界線定理）也就是計(jì)算零點(diǎn)在臨界線 ?上的平均密度。

直到最近幾年，對黎曼猜想的證明嘗試往往也會引起轟動。

2018 年 9 月，一場在海德堡盛況空前的演講引爆了數(shù)學(xué)圈，89 歲的阿蒂亞爵士對黎曼猜想的證明吸引了全球關(guān)注。在萬眾矚目之下，阿蒂亞爵士用 45 分鐘的時(shí)間向全世界展示對這個(gè)有著一百五十多年曆史的數(shù)學(xué)猜想的證明。

不過阿蒂亞爵士的證明只有以下一頁 PPT。這樣的證明，似乎無法讓人信服。當(dāng)被問及是否解決了黎曼猜想時(shí)，他回應(yīng)稱，「這是由你的邏輯決定的。原始的黎曼猜想我是證明了，除非你是那種不接受反證法的數(shù)學(xué)家。」他也補(bǔ)充說，其證明沒有解決所有問題，後續(xù)還有很多問題，自己只是走了第一步（第一步就是解決方案）。

遺憾的是，阿蒂亞爵士已經(jīng)在 2019 年 1 月去世了。

如今，又有人向黎曼猜想發(fā)起了挑戰(zhàn)。

Guth 和Maynard 做了什麼

對於Guth 和Maynard 的新突破，知名數(shù)學(xué)家陶哲軒評論道：「Guth 和Maynard 在研究黎曼猜想方面取得了重要進(jìn)展，儘管離解決這一歷史悠久的數(shù)學(xué)問題還有很長的路要走。 pdf/2405.20552

從陶哲軒的推文中我們了解到，該研究首次對數(shù)學(xué)家Albert Ingham 在1940 年左右關(guān)於黎曼ζ 函數(shù)零點(diǎn)（以及更廣泛地控制各種Dirichlet 級數(shù)的大值）的經(jīng)典界限做出了實(shí)質(zhì)改進(jìn)。 ?

1940 年，數(shù)學(xué)家 Albert Ingham 提出了一個(gè)描述這些零點(diǎn)的界限，這個(gè)界限對於當(dāng)時(shí)的理論研究構(gòu)成了基礎(chǔ)。然而，直到 Guth 和 Maynard 的工作之前，這個(gè)界限幾乎未被改進(jìn)過。 Guth 和 Maynard 的研究不僅改進(jìn)了 Ingham 的這個(gè)界限，而且他們的方法為處理 Dirichlet 級數(shù)的大值提供了新的工具和視角，這些級數(shù)在許多數(shù)論和分析問題中都非常重要。

本文證明了 Dirichlet 多項(xiàng)式大值頻率的新界限。這為長度為 N 的 Dirichlet 多項(xiàng)式提供了改進(jìn)的估計(jì)，其值大小接近

。此外，研究推導(dǎo)出一個(gè)零點(diǎn)密度估計(jì)值

以及關(guān)於長度為

的短間隔內(nèi)素?cái)?shù)的漸近式。?

對於這項(xiàng)研究，陶哲軒本人從數(shù)學(xué)的角度做了一些說明。設(shè)?(σ,?) 表示黎曼 ζ 函數(shù)在實(shí)部至少為 σ 且虛部最大為 T 的零點(diǎn)數(shù)。黎曼猜想告訴我們?nèi)魏?σ>1/2 的情況下，N (σ，?) 會消失，不過現(xiàn)在還無法證明這個(gè)假設(shè)。但作為次優(yōu)選擇，數(shù)學(xué)家可以證明零點(diǎn)密度估計(jì)，這是關(guān)於 ?(σ,?) ?的非平凡（non-trivial）上界。 事實(shí)證明， σ=3/4 是關(guān)鍵值。 1940 年，Ingham 得出了?(3/4,?)??(3/5+?(1)) 的界限。

在接下來的八十年中，對這個(gè)界限的改進(jìn)只是 ?(1) 誤差的微小精煉。這限制了研究者在解析數(shù)論中進(jìn)行更深入的研究：例如，為了得到一個(gè)在幾乎所有形如(?,?+?^?) 的短區(qū)間內(nèi)的良好素?cái)?shù)定理，人們長期以來一直受限於?>1/6 的範(fàn)圍，主要障礙是缺乏對Ingham 界限的改進(jìn)。

Guth 和 Maynard 最終改進(jìn)了 Ingham 邊界，從 3/5=0.6 提高到 13/25=0.52。這在解析數(shù)論中產(chǎn)生了許多相應(yīng)的改進(jìn)，例如，研究者可以在幾乎所有短區(qū)間內(nèi)證明素?cái)?shù)定理的範(fàn)圍，現(xiàn)在從θ>1/6=0.166… 到θ>2/15=0.133…

作者介紹

Larry Guth 自2019 年7 月起擔(dān)任MIT Claude E. Shannon 數(shù)學(xué)教授，並於2021 年當(dāng)選MacVicar Fellow。

他於 2005 年在 Tom Mrowka 的指導(dǎo)下獲得 MIT 博士學(xué)位。此後在史丹佛大學(xué)擔(dān)任博士後，在多倫多大學(xué)擔(dān)任初級教職並在 2011 年被任命為 Courant Institute 教授。此後他於 2012 年加入 MIT 數(shù)學(xué)系擔(dān)任教授。

Guth 的研究興趣是度量幾何、諧波分析和極端組合。其中度量幾何是指研究涉及長度、面積和體積的不等式，一些主要的例子有等周不等式和收縮不等式。收縮不等式是?? Guth 工作的一個(gè)重點(diǎn)， 另一個(gè)重點(diǎn)是尋找?guī)缀尾坏仁胶屯貥阒g的連結(jié)。

最近，Guth 從事諧波分析和組合學(xué)的研究。許多工作與 Kakeya 問題有關(guān)，這是歐幾里德幾何中的一個(gè)未解決問題，與傅立葉分析中的限制型估計(jì)和極值組合學(xué)中關(guān)於線發(fā)生率的估計(jì)有關(guān)。

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?James Maynard

James Maynard 出生於1987年，是一位英國數(shù)學(xué)家，研究領(lǐng)域?yàn)榻馕鰯?shù)論，特別是質(zhì)數(shù)理論。

數(shù)論中一些最著名的問題與素?cái)?shù)的分佈有關(guān)。雖然質(zhì)數(shù)的大規(guī)模分佈遵循數(shù)論定理（更精確的說是黎曼猜想），但許多自然問題需要處理短（或稀疏）尺度。

James Maynard 在 2013 年取得了關(guān)於孿生素?cái)?shù)猜想的重要成果。他證明了存在無窮多對質(zhì)數(shù)，其間隔小於 600，這一結(jié)果比張益唐的 7000 萬間隔要小，儘管他的論文發(fā)表時(shí)間比張益唐晚半年，但他的成果在數(shù)論專家中獲得了高度評價(jià)。

陶哲軒評價(jià)稱：「說實(shí)話，他的描述方式其實(shí)比我的更乾淨(jìng)… 事實(shí)證明他的說法還略強(qiáng)?！?/p>

Maynard 的方法既優(yōu)雅又強(qiáng)大，以一種令人震驚的方式突破了篩分理論的界限。並且在一個(gè)看似相反的方向上，他繼續(xù)證明，有時(shí)素?cái)?shù)比平均值稀疏得多，這是一個(gè)著名的 Erd?s 問題，數(shù)十年來沒有任何實(shí)質(zhì)進(jìn)展。

Maynard 也在丟番圖逼近領(lǐng)域做了基礎(chǔ)性工作，他與蒙特利爾大學(xué)數(shù)學(xué)教授 Koukoulopoulos 解決了 Duffin–Schaeffer 猜想。這個(gè)猜想在 1941 年提出，可以被認(rèn)為是 Khintchine 定理的最終泛化，描述了一個(gè)典型的實(shí)數(shù)如何被有理數(shù)逼近。

2022 年，Maynard 因在解析數(shù)論方面的貢獻(xiàn)而榮獲菲爾茲獎。菲爾茲獎是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最負(fù)盛名的獎項(xiàng)，通常被視為數(shù)學(xué)的諾貝爾獎。 James Maynard 因在解析數(shù)論方面的貢獻(xiàn)而獲此殊榮，這些貢獻(xiàn)已經(jīng)在理解素?cái)?shù)的結(jié)構(gòu)和丟番圖逼近方面取得了重大進(jìn)展。

2023 年，他又獲得了數(shù)學(xué)新視野獎。

期待兩位數(shù)學(xué)家在黎曼猜想等世界難題上取得更多進(jìn)展。

^{參考連結(jié)：}

^{https://www.jiqizhixin.com/articles/2019-01-12}

^{https://www.zhihu.com/tardis/zm/art/557594612}

https://news.mit.edu/2014/profile-larry-guth-0527

^{https://mathstodon.xyz/@tao/112557248794707738}

以上是黎曼猜想顯著突破！陶哲軒強(qiáng)推MIT、牛津新論文，37歲菲爾茲獎得主參與的詳細(xì)內(nèi)容。更多資訊請關(guān)注PHP中文網(wǎng)其他相關(guān)文章！