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摘要

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的圖和樹(shù)之間有什么區(qū)別？樹(shù)是一種類(lèi)型，但并非所有圖形都是樹(shù)。樹(shù)是沒(méi)有任何周期的連接圖。它具有帶根節(jié)點(diǎn)和子節(jié)點(diǎn)的層次結(jié)構(gòu)。樹(shù)上的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)獨(dú)特的路徑。另一方面，圖可以具有循環(huán)，其結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜。它可以連接或斷開(kāi)連接，節(jié)點(diǎn)之間可以具有多個(gè)路徑。列表。鄰接矩陣是大小為v x v的2D數(shù)組，其中v是圖中的頂點(diǎn)數(shù)。如果頂點(diǎn)I和J之間有邊緣，則第I和J列的交點(diǎn)處的單元格為1，否則為0。鄰接列表是鏈接列表的數(shù)組。數(shù)組的索引代表一個(gè)頂點(diǎn)，其鏈接列表中的每個(gè)元素代表與頂點(diǎn)形成邊緣的其他頂點(diǎn)。是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中幾種類(lèi)型的圖形。一個(gè)簡(jiǎn)單的圖是一個(gè)沒(méi)有循環(huán)的圖形，在任何兩個(gè)頂點(diǎn)之間不超過(guò)一個(gè)邊緣。多編碼可以在頂點(diǎn)之間具有多個(gè)邊緣。完整的圖是一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，其中每對(duì)頂點(diǎn)都通過(guò)邊緣連接。加權(quán)圖為每個(gè)邊緣分配一個(gè)權(quán)重。有向圖（或Digraph）具有方向的邊緣。邊緣從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)。

在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的許多應(yīng)用中，都使用了圖表中圖中圖的應(yīng)用？它們?cè)谏缃痪W(wǎng)絡(luò)中用于表示人們之間的聯(lián)系。它們用于網(wǎng)絡(luò)爬行中訪問(wèn)網(wǎng)頁(yè)并構(gòu)建搜索索引。它們用于網(wǎng)絡(luò)路由算法中，以找到兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最佳路徑。它們?cè)谏飳W(xué)中用于建模和分析生物網(wǎng)絡(luò)。它們也用于計(jì)算機(jī)圖形和物理模擬中。

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PHP主| PHP DEV的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：圖形

Joseph Gordon-Levitt

Feb 23, 2025 am 08:49 AM

PHP主| PHP DEV的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：圖形

鑰匙要點(diǎn)

圖理論的常見(jiàn)應(yīng)用是在任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間找到最少數(shù)量的啤酒花（即最短路徑）。這可以使用廣度優(yōu)先的搜索來(lái)實(shí)現(xiàn)，這涉及從指定的根節(jié)點(diǎn)從級(jí)別穿越圖形級(jí)別。此過(guò)程需要保持未訪問(wèn)的節(jié)點(diǎn)的隊(duì)列。> Dijkstra的算法被廣泛用于查找圖中任何兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最短或最佳路徑。這涉及檢查從源節(jié)點(diǎn)開(kāi)始的所有可能對(duì)頂點(diǎn)之間的每個(gè)邊緣，并保持最短的總距離的更新的頂點(diǎn)，直到達(dá)到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)為止。

在我以前的一篇文章中，我向您介紹了樹(shù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)在，我想探索一個(gè)相關(guān)的結(jié)構(gòu) - 圖。圖具有許多現(xiàn)實(shí)世界應(yīng)用程序，例如網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化，流量路由和社交網(wǎng)絡(luò)分析。 Google的Pagerank，F(xiàn)acebook的Graph Search以及Amazon和Netflix的建議是圖形驅(qū)動(dòng)應(yīng)用程序的一些示例。在本文中，我將探討使用圖形的兩個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題 - 啤酒花數(shù)量最少和最短路徑問(wèn)題。圖是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用于建模鍵/值對(duì)之間的關(guān)??系。圖包含一組>頂點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）和連接它們的任意數(shù)量的 edges（線）。這些邊緣可以指向或無(wú)向。導(dǎo)向邊緣只是兩個(gè)頂點(diǎn)之間的邊緣，而邊緣A→B不與B→A相同。無(wú)方向的邊緣沒(méi)有方向或方向；邊緣A-B等于B-A。我們上次了解到的樹(shù)結(jié)構(gòu)可以被視為一種無(wú)向圖的類(lèi)型，其中每個(gè)頂點(diǎn)通過(guò)簡(jiǎn)單路徑連接到至少一個(gè)其他頂點(diǎn)。圖形也可以加權(quán)或未加權(quán)。加權(quán)圖或網(wǎng)絡(luò)是將重量或成本值分配給其每個(gè)邊緣的一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。加權(quán)圖通常用于確定最佳路徑，最優(yōu)勢(shì)或兩個(gè)點(diǎn)之間的最低“成本”路徑。 GoogleMap的驅(qū)動(dòng)方向是使用加權(quán)圖的示例。最少的啤酒花

圖理論的常見(jiàn)應(yīng)用是在任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間找到最少的啤酒花。與樹(shù)一樣，圖形可以通過(guò)以下兩種方式之一進(jìn)行遍歷：深度優(yōu)先或廣度優(yōu)先。我們?cè)谏弦黄恼轮薪榻B了深度優(yōu)先的搜索，因此讓我們看一下廣度優(yōu)先的搜索。考慮以下圖：

PHP主| PHP DEV的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：圖形為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，讓我們假設(shè)該圖是

的 - 即，任何方向的邊緣是相同的。我們的任務(wù)是在任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間找到最少的啤酒花。在廣度優(yōu)先的搜索中，我們從根節(jié)點(diǎn)（或指定為根的任何節(jié)點(diǎn)）開(kāi)始，然后按級(jí)別沿著樹(shù)的水平沿我們的方式進(jìn)行工作。為了做到這一點(diǎn)，我們需要一個(gè)隊(duì)列來(lái)維護(hù)未訪問(wèn)的節(jié)點(diǎn)的列表，以便我們可以在每個(gè)級(jí)別后回溯和處理它們。一般算法看起來(lái)像這樣：但是，我們?cè)趺粗滥男┕?jié)點(diǎn)相鄰，更不用說(shuō)未訪問(wèn)的而不首先遍歷圖形呢？這使我們解決了如何建模圖數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題。

1. Create a queue
2. Enqueue the root node and mark it as visited
3. While the queue is not empty do:
  3a. dequeue the current node
  3b. if the current node is the one we're looking for then stop
  3c. else enqueue each unvisited adjacent node and mark as visited

代表圖形

通常有兩種表示圖形的方法：作為鄰接矩陣或鄰接列表。上面的圖表示為鄰接列表，如下所示：

PHP主| PHP DEV的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：圖形該圖表示為矩陣，其中1表示2個(gè)頂點(diǎn)之間的邊緣的“發(fā)生率”：

PHP主| PHP DEV的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：圖形

鄰接列表更具空間效率，尤其是對(duì)于大多數(shù)頂點(diǎn)沒(méi)有連接的稀疏圖，而鄰接矩陣有助于更快的查找。最終，表示形式的選擇將取決于可能需要哪種類(lèi)型的圖形操作。讓我們使用鄰接列表來(lái)表示圖表：

1. Create a queue
2. Enqueue the root node and mark it as visited
3. While the queue is not empty do:
  3a. dequeue the current node
  3b. if the current node is the one we're looking for then stop
  3c. else enqueue each unvisited adjacent node and mark as visited

現(xiàn)在，讓我們看看一般廣度優(yōu)先搜索算法的實(shí)現(xiàn)是什么樣的：

<span><span><?php
</span></span><span><span>$graph = array(
</span></span><span>  <span>'A' => array('B', 'F'),
</span></span><span>  <span>'B' => array('A', 'D', 'E'),
</span></span><span>  <span>'C' => array('F'),
</span></span><span>  <span>'D' => array('B', 'E'),
</span></span><span>  <span>'E' => array('B', 'D', 'F'),
</span></span><span>  <span>'F' => array('A', 'E', 'C'),
</span></span><span><span>);</span></span>

運(yùn)行以下示例，我們得到：

<span><span><?php
</span></span><span><span>class Graph
</span></span><span><span>{
</span></span><span>  <span>protected $graph;
</span></span><span>  <span>protected $visited = array();
</span></span><span>
</span><span>  <span>public function __construct($graph) {
</span></span><span>    <span>$this->graph = $graph;
</span></span><span>  <span>}
</span></span><span>
</span><span>  <span>// find least number of hops (edges) between 2 nodes
</span></span><span>  <span>// (vertices)
</span></span><span>  <span>public function breadthFirstSearch($origin, $destination) {
</span></span><span>    <span>// mark all nodes as unvisited
</span></span><span>    <span>foreach ($this->graph as $vertex => $adj) {
</span></span><span>      <span>$this->visited[$vertex] = false;
</span></span><span>    <span>}
</span></span><span>
</span><span>    <span>// create an empty queue
</span></span><span>    <span>$q = new SplQueue();
</span></span><span>
</span><span>    <span>// enqueue the origin vertex and mark as visited
</span></span><span>    <span>$q->enqueue($origin);
</span></span><span>    <span>$this->visited[$origin] = true;
</span></span><span>
</span><span>    <span>// this is used to track the path back from each node
</span></span><span>    <span>$path = array();
</span></span><span>    <span>$path[$origin] = new SplDoublyLinkedList();
</span></span><span>    <span>$path[$origin]->setIteratorMode(
</span></span><span>      <span>SplDoublyLinkedList<span>::</span>IT_MODE_FIFO|SplDoublyLinkedList<span>::</span>IT_MODE_KEEP
</span></span><span>    <span>);
</span></span><span>
</span><span>    <span>$path[$origin]->push($origin);
</span></span><span>
</span><span>    <span>$found = false;
</span></span><span>    <span>// while queue is not empty and destination not found
</span></span><span>    <span>while (!$q->isEmpty() && $q->bottom() != $destination) {
</span></span><span>      <span>$t = $q->dequeue();
</span></span><span>
</span><span>      <span>if (!empty($this->graph[$t])) {
</span></span><span>        <span>// for each adjacent neighbor
</span></span><span>        <span>foreach ($this->graph[$t] as $vertex) {
</span></span><span>          <span>if (!$this->visited[$vertex]) {
</span></span><span>            <span>// if not yet visited, enqueue vertex and mark
</span></span><span>            <span>// as visited
</span></span><span>            <span>$q->enqueue($vertex);
</span></span><span>            <span>$this->visited[$vertex] = true;
</span></span><span>            <span>// add vertex to current path
</span></span><span>            <span>$path[$vertex] = clone $path[$t];
</span></span><span>            <span>$path[$vertex]->push($vertex);
</span></span><span>          <span>}
</span></span><span>        <span>}
</span></span><span>      <span>}
</span></span><span>    <span>}
</span></span><span>
</span><span>    <span>if (isset($path[$destination])) {
</span></span><span>      <span>echo "<span><span>$origin</span> to <span>$destination</span> in "</span>, 
</span></span><span>        <span>count($path[$destination]) - 1,
</span></span><span>        <span>" hopsn";
</span></span><span>      <span>$sep = '';
</span></span><span>      <span>foreach ($path[$destination] as $vertex) {
</span></span><span>        <span>echo $sep, $vertex;
</span></span><span>        <span>$sep = '->';
</span></span><span>      <span>}
</span></span><span>      <span>echo "n";
</span></span><span>    <span>}
</span></span><span>    <span>else {
</span></span><span>      <span>echo "No route from <span><span>$origin</span> to <span>$destinationn</span>"</span>;
</span></span><span>    <span>}
</span></span><span>  <span>}
</span></span><span><span>}</span></span>

如果我們使用堆棧而不是隊(duì)列，則遍歷將成為深度優(yōu)先的搜索。

找到最短路徑

另一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題是找到任何兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最佳路徑。早些時(shí)候，我提到了GoogleMap的行駛方向，以此為例。其他應(yīng)用程序包括規(guī)劃旅行行程，道路交通管理以及火車(chē)/公共汽車(chē)計(jì)劃。解決此問(wèn)題的最著名算法之一是由一位29歲的計(jì)算機(jī)科學(xué)家以Edsger W. Dijkstra的名義發(fā)明的?？偟膩?lái)說(shuō)，Dijkstra的解決方案涉及檢查從源節(jié)點(diǎn)開(kāi)始的所有可能的頂點(diǎn)之間的每個(gè)邊緣，并保持最短的總距離的更新的頂點(diǎn)，直到達(dá)到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，或者無(wú)法達(dá)到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，任何情況下的情況下。有幾種方法可以實(shí)施該解決方案，實(shí)際上，在1959年，使用Minheaps，Priorityqueues和Fibonacci堆的多年以來(lái)，都對(duì)Dijkstra的原始算法做出了。一些改進(jìn)的性能，而另一些則旨在解決Dijkstra解決方案中的缺點(diǎn)，因?yàn)樗鼉H適用于正加權(quán)圖（權(quán)重為正值）。這是一個(gè)（正）加權(quán)圖的示例：

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我們可以將此圖表示為鄰接列表，如下所示：

1. Create a queue
2. Enqueue the root node and mark it as visited
3. While the queue is not empty do:
  3a. dequeue the current node
  3b. if the current node is the one we're looking for then stop
  3c. else enqueue each unvisited adjacent node and mark as visited

這是使用PriorityQueue來(lái)維護(hù)所有“不優(yōu)化”頂點(diǎn)的列表的實(shí)現(xiàn)：

<span><span><?php
</span></span><span><span>$graph = array(
</span></span><span>  <span>'A' => array('B', 'F'),
</span></span><span>  <span>'B' => array('A', 'D', 'E'),
</span></span><span>  <span>'C' => array('F'),
</span></span><span>  <span>'D' => array('B', 'E'),
</span></span><span>  <span>'E' => array('B', 'D', 'F'),
</span></span><span>  <span>'F' => array('A', 'E', 'C'),
</span></span><span><span>);</span></span>

如您所見(jiàn)，Dijkstra的解決方案只是廣度優(yōu)先搜索的變體！運(yùn)行以下示例會(huì)產(chǎn)生以下結(jié)果：

<span><span><?php
</span></span><span><span>class Graph
</span></span><span><span>{
</span></span><span>  <span>protected $graph;
</span></span><span>  <span>protected $visited = array();
</span></span><span>
</span><span>  <span>public function __construct($graph) {
</span></span><span>    <span>$this->graph = $graph;
</span></span><span>  <span>}
</span></span><span>
</span><span>  <span>// find least number of hops (edges) between 2 nodes
</span></span><span>  <span>// (vertices)
</span></span><span>  <span>public function breadthFirstSearch($origin, $destination) {
</span></span><span>    <span>// mark all nodes as unvisited
</span></span><span>    <span>foreach ($this->graph as $vertex => $adj) {
</span></span><span>      <span>$this->visited[$vertex] = false;
</span></span><span>    <span>}
</span></span><span>
</span><span>    <span>// create an empty queue
</span></span><span>    <span>$q = new SplQueue();
</span></span><span>
</span><span>    <span>// enqueue the origin vertex and mark as visited
</span></span><span>    <span>$q->enqueue($origin);
</span></span><span>    <span>$this->visited[$origin] = true;
</span></span><span>
</span><span>    <span>// this is used to track the path back from each node
</span></span><span>    <span>$path = array();
</span></span><span>    <span>$path[$origin] = new SplDoublyLinkedList();
</span></span><span>    <span>$path[$origin]->setIteratorMode(
</span></span><span>      <span>SplDoublyLinkedList<span>::</span>IT_MODE_FIFO|SplDoublyLinkedList<span>::</span>IT_MODE_KEEP
</span></span><span>    <span>);
</span></span><span>
</span><span>    <span>$path[$origin]->push($origin);
</span></span><span>
</span><span>    <span>$found = false;
</span></span><span>    <span>// while queue is not empty and destination not found
</span></span><span>    <span>while (!$q->isEmpty() && $q->bottom() != $destination) {
</span></span><span>      <span>$t = $q->dequeue();
</span></span><span>
</span><span>      <span>if (!empty($this->graph[$t])) {
</span></span><span>        <span>// for each adjacent neighbor
</span></span><span>        <span>foreach ($this->graph[$t] as $vertex) {
</span></span><span>          <span>if (!$this->visited[$vertex]) {
</span></span><span>            <span>// if not yet visited, enqueue vertex and mark
</span></span><span>            <span>// as visited
</span></span><span>            <span>$q->enqueue($vertex);
</span></span><span>            <span>$this->visited[$vertex] = true;
</span></span><span>            <span>// add vertex to current path
</span></span><span>            <span>$path[$vertex] = clone $path[$t];
</span></span><span>            <span>$path[$vertex]->push($vertex);
</span></span><span>          <span>}
</span></span><span>        <span>}
</span></span><span>      <span>}
</span></span><span>    <span>}
</span></span><span>
</span><span>    <span>if (isset($path[$destination])) {
</span></span><span>      <span>echo "<span><span>$origin</span> to <span>$destination</span> in "</span>, 
</span></span><span>        <span>count($path[$destination]) - 1,
</span></span><span>        <span>" hopsn";
</span></span><span>      <span>$sep = '';
</span></span><span>      <span>foreach ($path[$destination] as $vertex) {
</span></span><span>        <span>echo $sep, $vertex;
</span></span><span>        <span>$sep = '->';
</span></span><span>      <span>}
</span></span><span>      <span>echo "n";
</span></span><span>    <span>}
</span></span><span>    <span>else {
</span></span><span>      <span>echo "No route from <span><span>$origin</span> to <span>$destinationn</span>"</span>;
</span></span><span>    <span>}
</span></span><span>  <span>}
</span></span><span><span>}</span></span>

摘要

在本文中，我介紹了圖理論的基礎(chǔ)知識(shí)，兩種表示圖形的方法以及圖理論應(yīng)用中的兩個(gè)基本問(wèn)題。我向您展示了如何使用廣度優(yōu)先的搜索來(lái)找到任何兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間最少的啤酒花，以及如何使用Dijkstra的解決方案來(lái)找到任何兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。通過(guò)fotolia 圖像經(jīng)常詢問(wèn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中圖的問(wèn)題（常見(jiàn)問(wèn)題解答）

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的圖和樹(shù)之間有什么區(qū)別？樹(shù)是一種類(lèi)型，但并非所有圖形都是樹(shù)。樹(shù)是沒(méi)有任何周期的連接圖。它具有帶根節(jié)點(diǎn)和子節(jié)點(diǎn)的層次結(jié)構(gòu)。樹(shù)上的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)獨(dú)特的路徑。另一方面，圖可以具有循環(huán)，其結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜。它可以連接或斷開(kāi)連接，節(jié)點(diǎn)之間可以具有多個(gè)路徑。列表。鄰接矩陣是大小為v x v的2D數(shù)組，其中v是圖中的頂點(diǎn)數(shù)。如果頂點(diǎn)I和J之間有邊緣，則第I和J列的交點(diǎn)處的單元格為1，否則為0。鄰接列表是鏈接列表的數(shù)組。數(shù)組的索引代表一個(gè)頂點(diǎn)，其鏈接列表中的每個(gè)元素代表與頂點(diǎn)形成邊緣的其他頂點(diǎn)。是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中幾種類(lèi)型的圖形。一個(gè)簡(jiǎn)單的圖是一個(gè)沒(méi)有循環(huán)的圖形，在任何兩個(gè)頂點(diǎn)之間不超過(guò)一個(gè)邊緣。多編碼可以在頂點(diǎn)之間具有多個(gè)邊緣。完整的圖是一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形，其中每對(duì)頂點(diǎn)都通過(guò)邊緣連接。加權(quán)圖為每個(gè)邊緣分配一個(gè)權(quán)重。有向圖（或Digraph）具有方向的邊緣。邊緣從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)。

在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的許多應(yīng)用中，都使用了圖表中圖中圖的應(yīng)用？它們?cè)谏缃痪W(wǎng)絡(luò)中用于表示人們之間的聯(lián)系。它們用于網(wǎng)絡(luò)爬行中訪問(wèn)網(wǎng)頁(yè)并構(gòu)建搜索索引。它們用于網(wǎng)絡(luò)路由算法中，以找到兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最佳路徑。它們?cè)谏飳W(xué)中用于建模和分析生物網(wǎng)絡(luò)。它們也用于計(jì)算機(jī)圖形和物理模擬中。

>圖形遍歷算法是什么？

>有兩個(gè)主要的圖形遍歷算法：Depth-First Search（DFS）和廣度優(yōu)先搜索（BFS）。 DFS在回溯之前盡可能沿每個(gè)分支探索。它使用堆棧數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。 BFS探索當(dāng)前深度的所有頂點(diǎn)，然后才能進(jìn)入下一個(gè)級(jí)別。它使用隊(duì)列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

如何在Java中實(shí)現(xiàn)圖形？ hashmap中的每個(gè)鍵都是頂點(diǎn)，其值是一個(gè)鏈接列表，包含其連接到的頂點(diǎn)。

>什么是兩部分圖？

二鍵圖是一個(gè)圖形，是一個(gè)圖形的圖形。被分為兩個(gè)不相交的集合，使每個(gè)邊緣在一個(gè)集合中連接一個(gè)頂點(diǎn)與另一組頂點(diǎn)連接。沒(méi)有邊界在同一集合中連接頂點(diǎn)。

什么是子圖？

一個(gè)子圖是一個(gè)圖形，是另一個(gè)圖的一部分。它具有原始圖的某些（或全部）頂點(diǎn)，以及原始圖的某些（或全）邊緣。

>圖中的一個(gè)周期是什么？一條從同一頂點(diǎn)開(kāi)始和結(jié)束的路徑，至少具有一個(gè)邊。的連續(xù)的頂點(diǎn)通過(guò)邊緣連接。

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