生成所有集合分區(qū)

組合數(shù)學(xué)中的基本問題之一是查找給定集合的所有分區(qū)。集合劃分將集合劃分為非空的不相交子集，稱為塊或部分。

在這個問題中，我們尋求一種方法來枚舉具有不同元素的集合的所有劃分?？紤]集合 {1, 2, 3}。其分區(qū)為：

• {{1}, {2}, {3}}
• {{1, 2}, {3}}
• { {1, 3}, {2}}
• {{1}, {2, 3}}
• {{1, 2, 3}}

分區(qū)算法

任務(wù)可以分解為兩個子問題：分割成兩部分以及將一部分分割成多個

兩部分分區(qū)

對于 n 元素集，可以通過將每個元素表示為 n- 中的一個位來生成所有兩部分分區(qū)位模式。 0 位表示放置在第一部分中，1 位表示放置在第二部分中。為了避免交換部件時出現(xiàn)重復(fù)結(jié)果，我們始終將第一個元素分配給第一個部件。這留下 (2^(n-1))-1 唯一的兩部分模式。

遞歸分區(qū)

使用兩部分分區(qū)技術(shù)，我們可以遞歸構(gòu)造所有分區(qū)。

1. 從一個空的固定部分開始，原始集合作為后綴。
2. 生成后綴的兩部分分區(qū)。
3. 對于每個后綴分區(qū)，遞歸地將其第二部分分區(qū)為多個部分。
4. 將固定部分與遞歸組合分區(qū)以獲得包含固定部分的所有分區(qū)。
5. 重復(fù)步驟4，直到所有元素均已分區(qū)。

C# 實現(xiàn)

以下 C# 實現(xiàn)采用遞歸分區(qū)算法：

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

namespace PartitionTest {
    public static class Partitioning {
        public static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(T[] elements) {
            return GetAllPartitions(new T[][]{}, elements);
        }

        private static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(T[][] fixedParts, T[] suffixElements) {
            // Trivial partition: fixed parts followed by all suffix elements as a single block
            yield return fixedParts.Concat(new[] { suffixElements }).ToArray();

            // Two-group-partitions of suffix elements and their recursive sub-partitions
            var suffixPartitions = GetTuplePartitions(suffixElements);
            foreach (Tuple<T[], T[]> suffixPartition in suffixPartitions) {
                var subPartitions = GetAllPartitions(
                    fixedParts.Concat(new[] { suffixPartition.Item1 }).ToArray(),
                    suffixPartition.Item2);
                foreach (var subPartition in subPartitions) {
                    yield return subPartition;
                }
            }
        }

        private static IEnumerable<Tuple<T[], T[]>> GetTuplePartitions<T>(T[] elements) {
            if (elements.Length < 2) yield break;

            for (int pattern = 1; pattern < 1 << (elements.Length - 1); pattern++) {
                List<T>[] resultSets = {
                    new List<T> { elements[0] },
                    new List<T>() 
                };
                
                for (int index = 1; index < elements.Length; index++) {
                    resultSets[(pattern >> (index - 1)) & 1].Add(elements[index]);
                }

                yield return Tuple.Create(resultSets[0].ToArray(), resultSets[1].ToArray());
            }
        }
    }
}

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