模算術(shù)和NTT（有限域DFT）優(yōu)化

問題陳述

我想使用NTT來快速平方（請參閱快速 bignum 平方計算），但即使對于非常大的數(shù)字，結(jié)果也很慢......超過12000 位。

所以我的問題是：

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這是我的（已經(jīng)優(yōu)化的）NTT C 源代碼（它是完整的并且 100% 可以在C 不需要任何第三方庫，并且也應(yīng)該是線程安全的，請注意源數(shù)組被用作臨時數(shù)組?。?！，而且它不能將數(shù)組轉(zhuǎn)換為自身）。

優(yōu)化解決方案

1. 使用預(yù)先計算的冪：預(yù)先計算并存儲冪W 和 iW（單位原根及其逆），以避免在 NTT 過程中重新計算它們。這可以顯著減少乘法和除法的次數(shù)，從而加快計算速度。
2. 展開循環(huán)：展開 NTT 算法中的循環(huán)以減少與循環(huán)迭代相關(guān)的開銷。這樣可以通過減少分支指令的數(shù)量來提高性能。
3. 優(yōu)化模運(yùn)算：使用按位運(yùn)算和匯編語言高效地實(shí)現(xiàn)模運(yùn)算（加、減、乘、冪） 。這可以消除不必要的分支和條件語句，從而加快執(zhí)行速度。

示例實(shí)現(xiàn)

以下是使用預(yù)計算冪和按位運(yùn)算的 C 語言優(yōu)化 NTT 實(shí)現(xiàn)的示例：

class NTT {
public:
    NTT() {
        // Initialize constants
        p = 0xc0000001;
        W = modpow(2, 0x30000000 / n);
        iW = modpow(2, p - 1 - 0x30000000 / n);
        rN = modpow(n, p - 2);
        NN = n >> 1;

        // Precompute W and iW powers
        WW = new uint32_t[n];
        iWW = new uint32_t[n];
        WW[0] = 1;
        iWW[0] = 1;
        for (uint32_t i = 1; i < n; i++) {
            WW[i] = modmul(WW[i - 1], W);
            iWW[i] = modmul(iWW[i - 1], iW);
        }
    }

    void NTT(uint32_t *dst, uint32_t *src, uint32_t n) {
        if (n > 0) {
            // Reorder even, odd elements
            for (uint32_t i = 0, j = 0; i < NN; i++, j += 2) {
                dst[i] = src[j];
            }
            for (j = 1; i < n; i++, j += 2) {
                dst[i] = src[j];
            }

            // Recursive NTT
            NTT(src, dst, NN);  // Even
            NTT(src + NN, dst + NN, NN);  // Odd

            // Restore results
            for (uint32_t i = 0, j = NN; i < NN; i++, j++) {
                uint32_t a0 = src[i];
                uint32_t a1 = modmul(src[j], WW[i]);
                dst[i] = modadd(a0, a1);
                dst[j] = modsub(a0, a1);
            }
        }
    }

private:
    uint32_t p, n, NN, W, iW, rN;
    uint32_t *WW, *iWW;

    // Modular arithmetic operations
    inline uint32_t modadd(uint32_t a, uint32_t b) {
        uint32_t d = a + b;
        if (d >= p) d -= p;
        return d;
    }

    inline uint32_t modsub(uint32_t a, uint32_t b) {
        uint32_t d = a - b;
        if (d > a) d += p;
        return d;
    }

    inline uint32_t modmul(uint32_t a, uint32_t b) {
        uint32_t m = (uint64_t)a * b;
        return m - (p * (m / p));
    }

    inline uint32_t modpow(uint32_t a, uint32_t b) {
        if (b == 0) return 1;
        uint32_t t = modpow(a, b / 2);
        t = modmul(t, t);
        if (b &amp; 1) t = modmul(t, a);
        return t;
    }
};

其他提示

• 使用支持按位運(yùn)算和內(nèi)聯(lián)匯編的高級語言，例如 C 。
• 使用分析器識別代碼中的瓶頸并針對它們進(jìn)行優(yōu)化。
• 考慮使用并行化 NTT 算法多線程或 SIMD 指令。

以上是如何優(yōu)化數(shù)論變換 (NTT) 和模運(yùn)算以加快計算速度，尤其是對于非常大的數(shù)字（例如超過 12000 位）？的詳細(xì)內(nèi)容。更多信息請關(guān)注PHP中文網(wǎng)其他相關(guān)文章！