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曲線積分變量替換：如何將$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$轉(zhuǎn)化為$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$？
曲線積分變量替換：如何將$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$轉(zhuǎn)化為$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$？
Apr 19, 2025 pm 03:03 PM
曲線積分變量替換詳解：化簡(jiǎn)定積分
本文詳細(xì)解釋如何通過變量替換，將定積分$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$ 簡(jiǎn)化為$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$。 許多同學(xué)在處理這類積分時(shí)會(huì)遇到困難。
並非採(cǎi)用極坐標(biāo)變換，而是利用簡(jiǎn)單的變量替換法即可解決。 關(guān)鍵在於選擇合適的替換變量。
解題步驟：
我們選擇替換變量$y = \sin(t)$。 由於原積分區(qū)間為$0 \le y \le 1$，則對(duì)應(yīng)的$t$ 的區(qū)間為$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$。在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，$\sin(t)$ 和$\cos(t)$ 均為非負(fù)數(shù)。
替換變量:將$y = \sin(t)$ 代入原積分式：$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$
替換積分限:當(dāng)$y = 0$ 時(shí)，$t = 0$；當(dāng)$y = 1$ 時(shí)，$t = \frac{\pi}{2}$。
計(jì)算微分:對(duì)$y = \sin(t)$ 求導(dǎo)，得到$dy = \cos(t)dt$
-
代入積分式:將$y = \sin(t)$ 和$dy = \cos(t)dt$ 代入原積分式：
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\sqrt{1-\sin^2t}} \cos(t) dt$
-
化簡(jiǎn):由於$1 - \sin^2t = \cos^2t$，且在$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ 區(qū)間內(nèi)$\cos(t) \ge 0$，所以$\sqrt{1-\sin^2t} = \sqrt{\cos^2t} = \cos(t)$。 代入後，積分式變?yōu)椋?/p>
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\cos(t)} \cos(t) dt$
-
最終結(jié)果:化簡(jiǎn)後，得到：
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2t dt$
通過這個(gè)巧妙的變量替換，我們成功地將一個(gè)複雜的積分簡(jiǎn)化為一個(gè)更容易計(jì)算的形式。 記住，選擇合適的替換變量以及正確處理積分限和微分項(xiàng)是解題的關(guān)鍵。
以上是曲線積分變量替換：如何將$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$轉(zhuǎn)化為$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2tdt$？的詳細(xì)內(nèi)容。更多資訊請(qǐng)關(guān)注PHP中文網(wǎng)其他相關(guān)文章！
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