而隨著設(shè)備硬件配置的不斷提升，對(duì)中小型應(yīng)用程序來(lái)說(shuō)，對(duì)算法的空間復(fù)雜度的要求也寬松了不少。不過，在當(dāng)今 Web2.0 時(shí)代，對(duì)應(yīng)用程序的時(shí)間復(fù)雜度卻有了更高的要求。

什么是算法的時(shí)間復(fù)雜度呢？概要來(lái)說(shuō)，是指從算法中選取一個(gè)能代表算法的原操作，以原操作重復(fù)執(zhí)行的次數(shù)作為算法的時(shí)間量度。影響時(shí)間復(fù)雜度的因素有兩個(gè)：一是原操作的執(zhí)行時(shí)間，二是原操作因控制結(jié)構(gòu)引起的執(zhí)行次數(shù)。要把算法的時(shí)間復(fù)雜度降下來(lái)，降低原操作的執(zhí)行次數(shù)是較為容易的方法，也是主要方法。本文所講述的方法，是通過巧用 PHP 的數(shù)組，降低原操作的執(zhí)行次數(shù)，從而達(dá)到降低算法時(shí)間復(fù)雜度的需求，和大家分享。

算法的時(shí)間量度記作 T(n)=O(f(n))，它表示算法中基本操作重復(fù)執(zhí)行的次數(shù)是問題規(guī)模 n 的某個(gè)函數(shù) f(n)，也就是說(shuō)隨著問題規(guī)模 n 的增大，算法執(zhí)行時(shí)間的增長(zhǎng)率和 f(n) 的增長(zhǎng)率相同。多數(shù)情況下，我們把最深層循環(huán)內(nèi)的語(yǔ)句作為原操作來(lái)討論算法的時(shí)間復(fù)雜度，因?yàn)樗膱?zhí)行次數(shù)和包含它的語(yǔ)句的頻度相同。一般情況下，對(duì)一個(gè)問題只需選擇一種基本操作來(lái)討論算法的時(shí)間復(fù)雜度即可。有時(shí)也需要同時(shí)考慮多種基本操作。

在 Web 開發(fā)中，通常一個(gè)功能的執(zhí)行時(shí)間或響應(yīng)時(shí)間，不僅僅跟服務(wù)器的響應(yīng)能力、處理能力有關(guān)，還涉及第三方工具的交互時(shí)間，如對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)的鏈接時(shí)間和對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行存取的時(shí)間。因而在選定原操作是，需要綜合考慮應(yīng)用程序各方面的因素，以最大影響程序執(zhí)行時(shí)間的操作為原操作，來(lái)衡量算法的時(shí)間復(fù)雜度。也就是說(shuō)，需要程序員在編寫代碼的時(shí)候，對(duì)重要操作的執(zhí)行時(shí)間能有基本的認(rèn)識(shí)。

我們先看一個(gè)例子，假設(shè) Web 程序的開發(fā)語(yǔ)言是 PHP，后臺(tái)采用 DB2 數(shù)據(jù)庫(kù)，PHP 通過 PEAR::DB 數(shù)據(jù)抽象層來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)的訪問。

數(shù)據(jù)庫(kù)中有學(xué)生表 STUDENTS（見表 1），班級(jí)表 CLASSES（見表 2），學(xué)生成績(jī)表 SCORES（見表 3），需要在 Web 頁(yè)面中顯示出本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)超過 90 分的同學(xué)姓名和所在班級(jí)。

表 1. STUDENTS Table

表 2. CLASSES Table

表 3. SCORES Table

根據(jù)個(gè)人編程習(xí)慣的不同，要解決這個(gè)問題，通常有兩種做法（訪問數(shù)據(jù)庫(kù)的操作用 PEAR::DB 的方式表示），參看方法 1、2。

[ 方法 1 ]對(duì) STUDENTS, CLASSES, SCORES 三個(gè)表做聯(lián)合查詢，一次獲取滿足條件的學(xué)生信息和班級(jí)信息。PHP 算法描述如下：

				
$querystr = "select distinct S.STUNAME as STUNAME,C.CLASSNAME as CLASSNAME ".
   "from STUDENTS as S,CLASSES as C,SCORES as R ".
   "where S.SID=R.SID and S.CLASSID=C.CLASSID and R.COURSE='Math' ".
			"and R.SCORE>=90";		
$result = $db2handle->query( $querystr ); //從數(shù)據(jù)庫(kù)中獲取數(shù)據(jù)
while( $row=$result->fetchRow(DB_FETCHMODE_ASSOC) ){
 //讀取并顯示數(shù)據(jù)
 echo "StudentName=".$row['STUNAME']."\t ClassName=".$row['CLASSNAME']."\n"; 
}//Done

[ 方法 2 ]從 SCORES 表中找出滿足條件的學(xué)生學(xué)號(hào)，然后從 STUDENTS 表中查找學(xué)生的姓名和班級(jí)編碼，最后在 CLASSES 表中獲取班級(jí)的名稱。PHP 算法描述如下：

				
$scorestr = "select distinct SID from SCORES where COURSE='Math' and SCORE>=90";
$scoredata = $db2handle->query( $scorestr ); 
//從數(shù)據(jù)庫(kù)中獲取滿足條件的學(xué)生學(xué)號(hào)
while( $score=$scoredata->fetchRow(DB_FETCHMODE_ASSOC) ){
 //讀取學(xué)生的學(xué)號(hào)，并在STUDENTS表中查找學(xué)生的姓名和班級(jí)編號(hào)
 $studentstr = "select STUNAME,CLASSID from STUDENTS where SID='".$score['SID']."'";
 $studata =$db2handle->query( $studentstr);
 $stu=$studata->fetchRow(DB_FETCHMODE_ASSOC);
 //顯示學(xué)生的姓名
 echo "StudentName=".$stu['STUNAME']."\t ";
 //讀去學(xué)生的班級(jí)編號(hào)，并在CLASSES表中查找該學(xué)生所在班級(jí)名稱
 $classstr = "select CLASSNAME from CLASSES where CLASSID='".$stu['CLASSID']."'";
 $classdata = $db2handle->query( $classstr);
 $class=$classdata ->fetchRow(DB_FETCHMODE_ASSOC);
 //顯示學(xué)生的班級(jí)
 echo "CLASSNAME=".$class['CLASSNAME']."\n";
}//end while for getting each student's ID. Done

對(duì)于這樣的算法描述，相信大家會(huì)有似曾相識(shí)的感覺。這也是大多程序員廣泛使用的算法。因?yàn)橐呀?jīng)習(xí)慣了將思維中的算法邏輯直接譯成代碼，而往往沒有時(shí)間和心思來(lái)斟酌算法的優(yōu)劣。這里來(lái)分析一下這兩種算法的時(shí)間復(fù)雜度。

因 Web 服務(wù)器讀取并顯示數(shù)據(jù)的時(shí)間相對(duì)較小，一般在 10ms 的數(shù)量級(jí)，而從 DB2 數(shù)據(jù)庫(kù)里查詢并獲取數(shù)據(jù)的時(shí)間數(shù)量級(jí)會(huì)是 100ms 的數(shù)量級(jí)，并且隨查詢數(shù)據(jù)量的增加而增加。所以查詢數(shù)據(jù)庫(kù)的操作可作為量度時(shí)間復(fù)雜度的原操作，以 STUDENTS 表和 SCORES 表中的數(shù)據(jù)量作為問題規(guī)模 n( 通常情況下，CLASSES 表的數(shù)據(jù)量較小且相對(duì)穩(wěn)定 )。

對(duì)于方法 1，隨著問題規(guī)模 n 的增大，訪問數(shù)據(jù)庫(kù)的次數(shù)為常量 1。因而，時(shí)間復(fù)雜度為 T(n)=O(1)。對(duì)于方法 2，假設(shè) SCORES 表中滿足條件的記錄有 m 個(gè)，則原操作的執(zhí)行次數(shù)為 m+1。也就是說(shuō)隨著數(shù)據(jù)規(guī)模 n 的增大，原操作的執(zhí)行次數(shù)成線性增長(zhǎng)。可見時(shí)間復(fù)雜度為 T(n)=O(n)。可見，方法 1 的時(shí)間復(fù)雜度低。

那么方法 1 的問題在哪里？主要因?yàn)榉椒?1 會(huì)增大數(shù)據(jù)庫(kù)負(fù)載，也就是原操作的執(zhí)行時(shí)間受問題規(guī)模 n 的影響比較大。假設(shè) STUDENTS，CLASSES，SCORES 的記錄數(shù)分別為 X, Y, Z。那么在執(zhí)行聯(lián)合查詢操作時(shí)，在數(shù)據(jù)庫(kù)中會(huì)形成一個(gè)記錄數(shù)為 X*Y*Z 的矩陣，然后在這個(gè)矩陣中查找滿足條件的記錄數(shù)，最后獲取記錄的 STUNAME 信息和 CLASSNAME。這樣，任何一個(gè)表中的數(shù)據(jù)增加，都會(huì)造成矩陣表中記錄的成倍增加。

主要思路 :在所需數(shù)據(jù)中存在相對(duì)簡(jiǎn)單且數(shù)據(jù)量穩(wěn)定的情況下，利用 PHP 數(shù)組 (Array) 的下標(biāo) (Index) 可以為字符串 (String) 的特點(diǎn)，巧妙的將數(shù)據(jù)臨時(shí)存放到數(shù)組中。這樣可以通過下標(biāo) (Index) 快速獲取所需值，從而降低對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)的查詢次數(shù)，進(jìn)而降低算法的時(shí)間復(fù)雜度。

[ 方法 3 ]從 CLASSES 表中獲取 CLASSID 和 CLASSNAME 的對(duì)應(yīng)關(guān)系存放到 ClassArray 一維數(shù)組中，從 STUDENTS 表中獲取 SID 和 STUNAME 以及 CLASSID 的對(duì)應(yīng)關(guān)系存放到 StuArray 二維數(shù)組中。之后從 SCORES 表中找出滿足條件的學(xué)生學(xué)號(hào)，從 StuArray 數(shù)組中讀取學(xué)生的姓名和班級(jí)編號(hào)，從 ClassArray 中讀取班級(jí)的名稱。PHP 算法描述如下：

				
$ClassArray = Array();
$StuArray = Array();
$classstr = "select CLASSID,CLASSNAME from CLASSES";
$classdata = $db2handle->query( $classstr);
while( $class=$classdata ->fetchRow(DB_FETCHMODE_ASSOC) ){
 //生成ClassArray數(shù)組，下標(biāo)Index以CLASSID命名，對(duì)應(yīng)的值為CLASSNAME
 $ClassArray[$class['CLASSID']] = $class['CLASSNAME'];
}//end while $ClassArray
$stustr="select SID,STUNAME,CLASSID from STUDENTS";
$studata = $db2handle->query( $stustr);
while( $stu=$studata ->fetchRow(DB_FETCHMODE_ASSOC) ){
 //生成StuArray數(shù)組，下標(biāo)Index以SID命名，對(duì)應(yīng)的值為STUNAME和CLASSID
 $StuArray[$stu ['SID']]['STUNAME'] = $stu['STUNAME'];
 $StuArray[$stu ['SID']]['CLASSID'] = $stu['CLASSID'];
}//end while $StuArray
$scorestr = "select distinct SID from SCORES where COURSE='Math' and SCORE>=90";
$scoredata = $db2handle->query( $scorestr ); 
//從數(shù)據(jù)庫(kù)中獲取滿足條件的學(xué)生學(xué)號(hào)
while( $score=$scoredata->fetchRow(DB_FETCHMODE_ASSOC) ){
 //讀取學(xué)生的學(xué)號(hào)，并從StuArray中讀取學(xué)生的姓名，從ClassArray中讀取班級(jí)名稱
 echo "StudentName=".$StuArray[ $score['SID'] ]['STUNAME']."\t ";
 echo "CLASSNAME=".$ClassArray[ $StuArray[ $score['SID'] ]['CLASSID'] ]."\n";
}//end while for getting each student's ID. Done

改進(jìn)后方法的時(shí)間復(fù)雜度仍為 T(n)=O(1)。和方法 1 相比，方法 3 不必?fù)?dān)心因某一個(gè)表中的記錄增加而引起的數(shù)據(jù)庫(kù)查詢代價(jià)的成倍增加。和方法 2 相比，時(shí)間復(fù)雜度降低的同時(shí)，也沒有影響算法空間復(fù)雜度?？芍^一舉兩得。

雖然此優(yōu)化方法簡(jiǎn)單易用，但并不是說(shuō)它是萬(wàn)能的。使用時(shí)需要考慮“度”的問題。假設(shè) STUDENTS 表的數(shù)據(jù)量很大，那么生成 StuArray 的時(shí)候?qū)ο到y(tǒng)內(nèi)存的消耗就增加，這樣算法的空間復(fù)雜度就會(huì)受到影響。另外，當(dāng)數(shù)據(jù)量足夠大時(shí)，影響算法執(zhí)行時(shí)間的主要因素就發(fā)生了變化，需要重新選擇原操作。針對(duì) STUDENTS 表記錄數(shù)大，CLASSES 表記錄少且穩(wěn)定的情景，可以考慮用嵌套查詢和數(shù)組相結(jié)合的方式，對(duì)算法進(jìn)行優(yōu)化。這里給出方法 4，以供參考。

[ 方法 4 ]從 CLASSES 表中獲取 CLASSID 和 CLASSNAME 的對(duì)應(yīng)關(guān)系存放到 ClassArray 一維數(shù)組中。從 SCORES 表中查詢滿足條件的學(xué)生學(xué)號(hào)，作為查詢 STUDENTS 表的查詢條件，獲取學(xué)生的 STUNAME 和 CLASSID。之后從 ClassArray 中讀取班級(jí)的名稱。PHP 算法描述如下：

				
$ClassArray = Array();
$classstr = "select CLASSID,CLASSNAME from CLASSES";
$classdata = $db2handle->query( $classstr);
while( $class=$classdata ->fetchRow(DB_FETCHMODE_ASSOC) ){
 //生成ClassArray數(shù)組，下標(biāo)Index以CLASSID命名，對(duì)應(yīng)的值為CLASSNAME
 $ClassArray[$class['CLASSID']] = $class['CLASSNAME'];
}//end while $ClassArray
$stustr = "select STUNAME,CLASSID from STUDENTS where SID in ".
   "(select distinct SID from SCORES where COURSE='M' and SCORE>=90)";
$studata = $db2handle->query( $stustr); 
//從數(shù)據(jù)庫(kù)中獲取滿足條件的學(xué)生姓名和班級(jí)編號(hào)
while( $stu=$studata ->fetchRow(DB_FETCHMODE_ASSOC) ){
 //讀取學(xué)生的姓名，并從ClassArray中讀取班級(jí)名稱
 echo "StudentName=".$stu ['STUNAME']."\t ";
 echo "CLASSNAME=".$ClassArray[ $stu ['CLASSID'] ]."\n";
}//end while for getting each student's Info. Done

方法 3 と 4 では、配列の小さなトリックを使用して、アルゴリズムの時(shí)間の複雑さを巧みに軽減します。実際のアプリケーションでは、アルゴリズムのロジックはさらに複雑で、アルゴリズムの最適化には多くの要素を総合的に考慮する必要があります。この記事で説明する方法は PHP アプリケーションにのみ適用されるわけではないことに注意してください。プログラミング言語(yǔ)の配列が添字としての文字列の使用をサポートしている場(chǎng)合は、この記事で提案されている方法の使用を検討できます。つまり、配列の添字を巧みに使用して、アルゴリズムの時(shí)間の複雑さを軽減します。配列の添字として文字列をサポートしないプログラミング言語(yǔ)の場(chǎng)合は、ハッシュ テーブルを使用して同じ効果を?qū)g現(xiàn)することを検討できます。